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Devoir de Mathématiques : Le théorème des lunules d’Hippocrate

Littré (1880) : LUNULE (s. f.) pour la petite histoire…
1. Nom donné aux satellites de Jupiter et de Saturne, qui font l'office d'autant de petites lunes.
2. Terme de géométrie. Figure qui a la forme d'un croissant, espace compris entre deux arcs de cercle qui ont la convexité du même côté et qui se coupent. Lunules d'Hippocrate (Hippocrate est un géomètre grec), croissants formés par le demi-cercle construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle, coupant les deux demi-cercles construits sur les deux côtés de l'angle droit ; la surface de ces lunules est précisément égale à celle du triangle.
3. Tache blanche semi-lunaire, plus ou moins grande, qui se remarque en arrière de l'ongle vers le point où sa racine s'enfonce sous le repli de la peau appelé matrice unguéale.
4. Espèce de bombyx.
5. Dépression qu'on observe sous les crochets de certaines coquilles bivalves.
6. Espèce de boîte ronde, d'or ou de vermeil, qui renferme l'hostie et qu'on place au centre de l'ostensoir.
ÉTYMOLOGIE : Diminutif de lune, on s’en serait douté, non ?

Correction du devoir donné en seconde :

Ce théorème est très ancien, il serait dû à Hippocrate de Chios (-500). On ne le confondra pas avec Hippocrate de Cos, médecin grec (vers -400) à qui l'on doit le célèbre "serment d'Hippocrate" que prêtent les nouveaux médecins.
Hippocrate de Chios (île grecque), armateur comme il se doit, se serait rendu à Athènes afin de récupérer un de ses navires confisqué par la douane. Ayant rencontré les philosophes et mathématiciens de l'époque, il se serait alors converti aux mathématiques...
Hippocrate démontre qu’une lunule et son triangle associé ABC ont la même aire! Cet exemple est très important, car c'est la première fois dans l'histoire des mathématiques qu'on réussit à quarrer des figures non rectilignes, c'est-à-dire à trouver leur aire sans utiliser .

Considérons un cercle de diamètre [AB] avec AB=2R, et un autre arc de cercle de centre C ayant A et B pour extrémité. La surface hachurée comprise entre ces deux arcs de cercles s'appelle une lunule.

 

• ABC est un triangle isocèle rectangle en C et inscrit dans un demi cercle de diamètre [AB]. Soit l’aire de ce triangle

• Soit S l’aire de la lunule hachurée comprise entre les arcs de cercle AB

• Les cordes [AC] et [BC] définissent chacun deux zones comprises entre elles et le cercle de diamètre [AB]. Pour des raisons de symétrie elles sont égales. Notons S1 l'aire de chacune de ces zones.

Démonstration type 4ème-3ème :
Par soustraction l’aire S de la lunule vaut :
S = Aire du cercle de diamètre [AB] – ( S2+2S1+ ) relation (1)
OR, S2+ = Aire du quart de cercle de rayon CB relation (2)
De plus d’après Pythagore : d’où
et
Donc l’ Aire du quart de cercle de rayon CB vaut : = =
Comme = , on en déduit d’après (2) :
S2+R²= d’où S2= - R²
De plus 2S1 valent l’aire du demi cercle de diamètre [AB] avec AB=2R auquel on soustrait l’aire du triangle ABC :
2S1= enfin 2S1 =

Finalement on s’aperçoit que 2S1= S2 et que :
S2+2S1 + = + + =
Comme Aire du cercle de diamètre [AB] vaut aussi alors d’après (1)
S= - ( ) = or comme = également,
Ceci démontre que la lunule et le triangle ABC ont la même aire! Cet exemple est très important, car c'est la première fois dans l'histoire des mathématiques qu'on a réussi à quarrer des figures non rectilignes, c'est-à-dire à trouver leur aire sans utiliser .

Hippocrate réussit la même prouesse avec deux autres lunules. Son espoir était de réussir la même chose pour un cercle, ce qui hélas est impossible!
Applications au devoir donné aux secondes :
Il faut trouver R pour que l’aire de la lunule soit égale à 10 d’où R²=10 d’où R=
Dans le cas du problème des quatre lunules :

En traçant les diagonales du carré on obtient la figure précédente avec x = 2R et quatre triangles isocèles rectangles, comme l’aire de chaque lunule vaut l’aire d’un triangle, alors les quatre valent exactement l’aire du carré. Ceci signifie que pour toute valeur de x, la somme des quatre lunules vaut toujours l’aire du carré, et donc elles sont quarrables !

Encore un peu de Vocabulaire ?

QUARRER :
Quarrer une surface signifie littéralement calculer son aire, cependant pour les grecs quarrer une figure signifie construire une surface rectiligne (carré ou rectangle) dont l’aire est exactement égale à l’aire de la figure non rectiligne recherchée.
Problème de la quadrature du cercle : littéralement est-il possible de quarrer un disque par un carré ou un rectangle ? Il faut attendre 1837 (Wantzel) pour prouver que la réponse est non, c’est impossible ! D’où l’expression passée dans le langage commun « Ah, ben dis donc, ce devoir de maths c’était la quadrature du cercle !!! » ce qui signifie que c’était impossible à faire ?